$\mathbb{T}^2$ 上离散 Riesz 能量的众多临界点

人们普遍认为，能量泛函 $E_p:(\mathbb{S}^2)^n \rightarrow \mathbb{R}$ $$E_p = \sum_{i,j=1 \atop i \neq j}^{n} \frac{1}{\|x_i-x_j\|^p}$$ 的临界点 $\nabla E(x) = 0$ 的数量随 $n$ 呈指数增长。尽管这一猜想已被广泛测试且在物理上有充分的动机，但目前尚无此方向的严格结果。我们在二维平坦环面 $\mathbb{T}^2$ 上证明了该结果的一个版本，并表明存在无穷多个 $n \in \mathbb{N}$，使得只要 $p \geq 5 \log{n}$，$E_p: (\mathbb{T}^2)^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的临界点数量至少为 $\exp(c \sqrt{n})$。我们还研究了 $n=3,4,5$ 的特殊情况，结果出乎意料地有趣。