Green 函数、Hitchin 公式与 torus 上的曲率方程

设 $G(z)=G(z;\tau)$ 为以 $0$ 为奇点点在平坦环面 $E_{\tau}=\mathbb{C}/(\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau)$ 上的 Green 函数。Lin 和 Wang (Ann. Math. 2010) 证明 $G(z)$ 要么有 $3$ 个，要么有 $5$ 个临界点（取决于 $\tau$ 的选择）。Later, Bergweiler and Eremenko (Proc. Amer. Math. Soc. 2016) 采用反全續动力学给出这一显著结果的新证明。本文首先证明：一旦 $G(z)$ 有 $5$ 个临界点，则这 $5$ 个临界点全部为非退化点。其次，我们研究两个 Green 函数之和，可化简为 $G_p(z):=\frac12(G(z+p)+G(z-p))$。我们证明对于满足 $p\neq -p$ 在 $E_{\tau}$ 内的任意 $p$，$G_p(z)$ 的临界点数目属于 $\{4,6,8,10\}$（取决于 $(\tau, p)$ 的选择），且每个数都真的存在。我们以一种惊人的方式运用于 Hitchin 公式（J. Differ. Geom. 1995）以证明临界点的普遍非退化性。这使我们能够研究 $G_p(z)$ 临界点数目随 $p$ 变化的分布。也给出了关于曲率方程 $\Delta u+e^{u}=4\pi(\delta_{p}+\delta_{-p})$ 在 $E_{\tau}$ 上的应用，并研究 torus 的几何如何影响解的结构。