经典权重二 Eisenstein 级数的临界点

本文完全确定了权重为 2 的归一化 Eisenstein 级数 $E_2(\tau)$ 的临界点。尽管 $E_2(\tau)$ 不是模形式，但我们的结果表明，$E_2(\tau)$ 在 $\Gamma_{0}(2)$ 的每个基本域中至多有一个临界点。我们还给出了一个基本域包含 $E_2(\tau)$ 临界点的判据。此外，在 $\Gamma_{0}(2)$ 作用的 M\"obius 变换下，所有临界点均可映射到基本基本域 $F_0$ 中，且其像稠密地分布在三条光滑曲线上。本文也给出了这些光滑曲线的几何解释。结果表明，这些光滑曲线与和平环面相关的多重 Green 函数的平凡临界点的简并曲线重合。