艾森斯坦级数的临界点

对任意偶整数 $k \ge 4$，令 $\E_k$ 为 $\SL_2(\Z)$ 的权 $k$ 正规化艾森斯坦级数。又令 $\D$ 为模 $\SL_2(\Z)$ 的庞加莱上半平面的标准基本域的闭包。F.~K.~C.~Rankin 与 H. P. F. Swinnerton-Dyer 证明了 $\E_k$ 在 $\D$ 中的所有零点模均为一。在本文中，我们研究 $\E_k$ 的临界点，即 $\E_k$ 导数的零点。我们证明它们是简单的。我们计数了属于 $\D$ 的那些零点，证明它们位于 $\D$ 的两条竖直边上，并给出了分离它们的显式区间。随后我们对任意 $\gamma \in \SL_2(\Z)$ 计数了属于 $\gamma\D$ 的那些零点。