矩形环面上具有四个奇异源的曲率方程的尖锐不存在结果

在本文中，我们证明了曲率方程 $$\Delta u+e^{u}=8\pi n\delta_{0}\text{ on }E_{\tau}, \quad n\in\mathbb{N},$$ 无解，其中 $E_{\tau}$ 是一个平坦矩形环面，$\delta_{0}$ 是格点处的 Dirac 测度。这证实了 \cite{CLW2} 中的一个猜想，并改进了 Eremenko 和 Gabrielov \cite{EG} 的结果。这种不存在性是一个微妙的问题，因为如果将右边的 $8\pi n$ 替换为 $2\pi \rho$（其中 $0<\rho\notin 4\mathbb{N}$），方程总是有解。从几何上看，我们的结果意味着矩形环面 $E_{\tau}$ 承认一个曲率为 $+1$ 的度量，在格点处带有角度为 $2\pi\alpha$ 的锥奇点，当且仅当 $\alpha$ 不是奇整数。出乎意料地，我们对此不存在性结果的证明是应用有限间隙势（finite-gap potential）的谱理论，或等价地平稳 KdV 族方程的代数几何解。事实上，我们的证明也能给出具有位于三个半周期和格点处奇异源的曲率方程的尖锐不存在结果。