基于 Painlevé VI 方程求解环面上具多重奇异源的曲率方程

Zhijie Chen; Ting-Jung Kuo; Chang-Shou Lin

基于 Painlevé VI 方程求解环面上具多重奇异源的曲率方程

偏微分方程分析 2025-07-23 v1

作者: Zhijie Chen , Ting-Jung Kuo , Chang-Shou Lin

摘要

我们研究环面上具多重奇异源的曲率方程 $\Delta u+e^{u}=8\pi \sum_{k=0}^{3}n_{k}\delta_{\frac{\omega_{k}}{2}}% +4\pi \left( \delta_{p}+\delta_{-p}\right) \quad \text{ on }\;E_{\tau}:=\mathbb{C}/(\mathbb Z+\mathbb{Z}\tau),$ 其中 $n_k\in\mathbb N$ 且 $\delta_a$ 表示在 $a$ 处的 Dirac 测度。这被称为临界情形，对此先验估计不成立，且解的存在性一直是一个长期存在的问题。在本文中，通过建立与 Painlevé VI 方程的深刻联系，我们证明偶解（即 $u(z)=u(-z)$ ）的存在性依赖于奇异点 $p$ 的位置，并给出了用 Painlevé VI 方程表示的关于 $p$ 的精确判据。

关键词

曲率方程奇异源环面 Painlevé VI 方程 Dirac 测度解的存在性

引用

@article{arxiv.2507.16230,
  title  = {Sovability of curvature equations with multiple singular sources on torus via Painleve VI equations},
  author = {Zhijie Chen and Ting-Jung Kuo and Chang-Shou Lin},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2507.16230},
  year   = {2025}
}

基于 Painlevé VI 方程求解环面上具多重奇异源的曲率方程

摘要

关键词

引用

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