具有两个对称点处6$\pi$锥角的平坦环面上球面度量的精确结果

在本文中，我们研究如下曲率方程：\begin{equation} \Delta u+e^{u}=8\pi (\delta _{0}+\delta _{\frac{\omega _{k}}{2}})\text{ in } E_{\tau }\text{, }\tau \in \mathbb{H} (0.1) \label{a} \end{equation} 这里 $E_{\tau }$ 表示一个平坦环面，$\frac{\omega _{k}}{2}$ 是 $E_{\tau }$ 的半周期之一。我们的主要目标是建立非偶解族（定义见第1节）存在的充要条件。值得注意的是，这等价于确定具有单个锥奇点的方程解的存在性：\begin{equation*} \Delta u+e^{u}=8\pi \delta _{0}\text{ in }E_{\tau }\text{, }\tau \in \mathbb{ H}\text{.} \end{equation*} 本研究是文献中首次对具有多个奇异源的曲率方程非偶解族结构进行的探索。基于我们的发现，我们对所有 $\tau$ 的方程(0.1)的解结构提供了全面分析。该分析由定理1.3所推动，定理1.3将在我们未来探索涉及一般参数的情形（如：\begin{equation*} \Delta u+e^{u}=8\pi n(\delta _{0}+\delta _{\frac{\omega _{k}}{2}})\text{ in } E_{\tau },\text{ }n\in \mathbb{N}\text{.} \end{equation*}）中发挥核心作用。作为一个应用，我们对矩形环面和菱形环面背景下方程(0.1)的解给出了显式描述。参见推论1.4以及推论1.5。