与刘维尔方程相关的一些几何不等式

在本文中，我们证明：若 $u$ 是刘维尔方程 \begin{align} \label{scalliouville} \Delta u+e^{2u} =0 \quad \mbox{in $\mathbb{R}^2$,} \end{align} 在 $\mathbb{R}^2$ 中的解，则在共形度量 $g=e^{2u}\delta$ 下 $\mathbb{R}^2$ 的直径以 $\pi$ 为下界。此处 $\delta$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的欧氏度量。此外，我们显式构造了一族解，使得对应的 $\mathbb{R}^2$ 直径取遍 $[\pi,2\pi)$。我们还讨论了上解。我们证明：若 $u$ 是一个上解且 $\int_{\mathbb{R}^2} e^{2u} dx<\infty$，则在度量 $e^{2u}\delta$ 下 $\mathbb{R}^2$ 的直径小于或等于 $2\pi$。对于径向上解，我们运用分析与几何两种方法证明了一些涉及 $\mathbb{R}^2$ 中圆盘共形长度与面积的不等式。我们还讨论了上述结果与高斯曲率以 $1$ 为下界情形下的球面覆盖不等式之间的联系。高维推广亦被讨论。