Liouville 方程上的刚性结果

我们给出 Liouville 方程 $$-\Delta u=e^{2u}\quad\mbox{in}\quad {\mathbf{R}}^2.$$ 中上方有界解的完整分类。更一般地，描述了类 $$N:=\{ u:\limsup_{z\to\infty} u(z)/\log|z|:=k(u)<\infty\}$$ 中的解。作为推论，我们得到五个刚性结果。第一，$k(u)$ 只能取离散值集：要么 $k=-2$，要么 $2k$ 为非负整数。第二，$u\to-\infty$ 当 $z\to\infty$，当且仅当 $u$ 关于某点径向对称。第三，若 $u$ 关于 $x$ 与 $y$ 轴对称，且在第一象限内 $u_x<0,\; u_y<0$，则 $u$ 为径向对称。第四，若 $u$ 为凹函数且上方有界，则 $u$ 是一维的。第五，若 $u$ 上方有界，且配备度量 $e^{2u}\delta$ 的 ${\mathbf{R}}^2$ 的直径为 $\pi$（其中 $\delta$ 为欧氏度量），则 $u$ 要么关于某点径向对称，要么是一维的。此外，我们将高维 Liouville 方程上的凹性刚性结果进行了推广。