平均曲率方程稳定解的内部正则性与Liouville定理

设 $f\in C^1(\mathbb{R})$。我们研究平均曲率方程 $$\operatorname{div}\left( \frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}} \right) = -f(u) \qquad \text{in}\ \Omega \subset \mathbb{R}^n$$ 的稳定解 $u$。在局部情形下，我们证明 $\nabla u$ 满足内部 Morrey 正则性 $M^{p_n}$，其中 $$p_n := \left\{ \begin{array}{ll} n,\qquad & \text{if}\ 2\leq n\leq 5, \\ \frac{n}{n-4\sqrt{n-1}+4},\qquad & \text{if}\ n\geq 6, \end{array} \right.$$ 并附带估计 $$\|\nabla u\|_{M^{p_n}(B_1)} \leq C \left( 1+\|\nabla u\|_{L^1(B_2)} \right).$$ 如一个显式一维例子所示，指数 $p_n$ 在 $n\leq5$ 时是最优的。对于径向解，我们证明对称中心至多是一个可去奇点。在全局上，我们建立了 Liouville 型定理：任何满足增长条件 $$|\nabla u(x)| = \left\{ \begin{array}{lll} o(|x|^{-1}) \ & \text{as}\ |x|\rightarrow +\infty& \text{when}\ 2\leq n\leq 10, \\ o(|x|^{-n/2+\sqrt{n-1}+1}) \ & \text{as}\ |x|\rightarrow +\infty& \text{when}\ n\geq 11, \end{array} \right.$$ 的稳定解必为常数。特别地，在维数 $2\leq n\leq6$ 中不存在非常数径向稳定解，这突显了低维中径向稳定解的全局刚性，并推广了 Farina 和 Navarro 的经典 Liouville 定理。我们结果中出现的几个指数对于平均曲率方程是新的，展示了与半线性方程相应定理的相似性和差异性。