$\mathbb{R}^4$ 上具有幂型增长 $Q$-曲率的法向共形度量

针对 M. Struwe (Vietnam J. Math. 2020) 提出的与 Nirenberg 问题爆破行为相关的一个问题,我们证明: prescribed $Q$-曲率方程 $$\Delta^2 u=(1-|x|^p)e^{4u}\text{ 在 }\mathbb{R}^4\text{ 中},\quad \Lambda:=\int_{\mathbb{R}^4}(1-|x|^p)e^{4u}dx<\infty$$ 存在法向解(即可以写成积分形式的解,从而满足当 $|x|\to \infty$ 时 $\Delta u(x) =O(|x|^{-2})$)当且仅当 $p\in (0,4)$ 且 $$\left(1+\frac{p}{4}\right)8\pi^2\le \Lambda <16\pi^2.$$ 我们还证明了正曲率情形(即在 $\mathbb{R}^4$ 中 $\Delta^2 u=(1+|x|^p)e^{4u}$)的存在性与非存在性结果,并讨论了一些开放问题。