具有常$Q$-曲率的共形度量的紧性 I

我们研究维数$\ge 5$的光滑紧黎曼流形上四阶常$Q$-曲率方程的非负解的紧性。若$Q$-曲率等于$-1$，我们证明所有解一致有界。若$Q$-曲率为$1$，假设 Paneitz 算子的核平凡且其格林函数为正，我们在局部共形平坦（LCF）或维数$\le 9$的流形上建立一致能量界。此外，进一步假设 Paneitz 算子成立正质量型定理，我们证明在$C^4$中的紧性。最近已在 Yamabe 不变量为正时，在 LCF 流形或维数$\le 7$的流形上验证了正质量型定理。我们还证明，对于维数$\ge 8$，Weyl 张量在一列爆破解的可能爆破点处必须消失。这意味着当 Weyl 张量处处不为零时，在维数$\ge 8$时得到紧性结果。为克服源于四阶椭圆型方程的困难，我们通过积分方程发展了爆破分析过程。