四阶与六阶常数Q曲率问题的紧凑性与非紧凑性定理

我们给出对平滑闭合黎曼流形上四阶和六阶常数Q曲率问题解集紧凑性问题的完整解决。前提是该流形不与标准单位n球共形等距，且关联的共形协变微分算子具有正Green函数。首先，我们证明了在维数5≤n≤24时，四阶常数Q曲率问题的解集在C⁴意义下紧凑。对于n≥25，已知存在L∞无界的解序列（Wei和Zhao）。此外，Li和Xiong已建立了5≤n≤9的紧凑性结果。其次，我们证明了在维数7≤n≤26时，六阶常数Q曲率问题的解集在C⁶意义下紧凑，而n≥27时存在 blow-up 示例。我们的主要观察是，两种Q曲率问题的线性化方程可转化为非决定性线性系统，由于Poincare算子和六阶GJMS算子意外的代数结构，系统可获得非平凡解。这种关键洞察不仅在推导高维流形的紧凑性结果中起关键作用，还揭示了关于共形协变算子阶数的优雅层次模式，暗示了所有可接受的偶整数次常数Q曲率问题统一紧凑性理论的可能性。