局部有限无限配置空间的各向同性性与 Weierstrass 整体覆盖

设 $Conf^{lf}_{\infty}(\C)$ 和 $C^{lf}_{\infty}(\C)$ 为复平面上的局部有限无限有序和无序配置空间。我们证明了 $Conf^{lf}_{\infty}(\C)$ 和 $C^{lf}_{\infty}(\C)$ 都是各向同性的。进一步，我们获得了局部有限类比的 braid 精确序列，$$1\longrightarrow H^{lf}(\infty)\longrightarrow B^{lf}(\infty)\longrightarrow \Aut(\N)\longrightarrow 1,$$其中 $H^{lf}(\infty)=\pi_1(Conf^{lf}_{\infty}(\C))$ 和 $B^{lf}(\infty)=\pi_1(Conf^{lf}_{\infty}(\C)//\Aut(\N))$，即 $Conf^{lf}_{\infty}(\C)$ 在 $\Aut(\N)$ 上的同伦商中的基本群。基于此，我们对连通的 countably infinite--sheeted 覆盖空间进行分类，并给出当此类覆盖可由函数族 $F:X\times\C\to\C$ 的零集合实现时的准则。特别地，如果 $\pi_1(X)$ 为自由且 $H^2(X;\Z)=0$，则每个 countably infinite--sheeted 覆盖空间都可实现。