Obata-Vétoris论证及其应用

我们简化了Vétoris的Obata型论证，并用它确定一个包含零的闭区间$I_n$（$n \geq 3$），使得若$a \in I_n$且$(M^n,g)$为具有非负数量曲率的闭共形爱因斯坦流形，且$Q_4 + a\sigma_2$为常数，则其必为爱因斯坦流形。在关于$a$的更严格假设下，我们将数量曲率假设放宽为Yamabe常数的非负性。我们的结果使我们能计算许多Yamabe型常数，并证明具有非负数量曲率的闭爱因斯坦流形上的尖锐Sobolev不等式。特别地，我们表明具有非负数量曲率的闭局部对称爱因斯坦四维流形使共形拉普拉斯的函数行列式取极值，部分回答了Branson与Ørsted的一个问题。