紧致爱因斯坦流形的Betti数与立花数

在爱因斯坦流形的历史中，微分几何学家一直对寻找爱因斯坦流形的曲率与拓扑之间的关系表现出极大兴趣。本文中，我们首先证明：具有爱因斯坦常数 $\alpha >0$ 的紧致爱因斯坦流形 $(M,g)$，当其截面曲率的最小值 $> \alpha/(n+ 2)$ 时，是一个同调球面；特别地，当其截面曲率的最小值 $> \alpha / n$ 时，$(M,g)$ 是一个球面空间形式。其次，我们对爱因斯坦常数 $\alpha < 0$ 的紧致爱因斯坦流形 $(M,g)$ 的立花数证明了两个（类似于上述结果的）命题。