$S^3 \times S^3$ 上的左不变 Einstein 度量

六维齐性紧 Einstein 流形的分类是一个开放问题。我们考虑剩余的开放情形，即 $G = \mathrm{SU}(2) \times \mathrm{SU}(2) = S^3 \times S^3$ 上的左不变 Einstein 度量 $g$。Einstein 度量是固定体积下全标量曲率泛函的临界点。左不变度量 $g$ 的标量曲率 $S$ 是常数，并且可以表示为确定该度量的参数的有理函数。在体积约束下，$S$ 的临界点由参数中多项式系统的零点集给出。然而，一般情况下，零点集的确定似乎难以企及。相反，我们考虑度量 $g$ 在运动群中的各向同性群 $K$ 非平凡的情形。当 $K\not\cong \mathbb{Z}_2$ 时，我们基于表示论论证和计算机代数证明了 $G$ 上的 Einstein 度量（至同伦相差）由标准度量或近 Kähler 度量给出。对于剩余情形 $K\cong \mathbb{Z}_2$，我们给出了部分结果。