$R^{2m}$ 上具有常 Q 曲率、预定体积与渐近行为的共形度量

我们研究问题 $(-\Delta)^m u= Qe^{2mu}$ 的解 $u\in C^\infty(R^{2m})$，其中 $Q=\pm (2m-1)!$，且 $V :=\int_{R^{2m}}e^{2mu}dx <\infty$，特别是在 $m>1$ 时。这对应于在 $R^{2m}$ 上寻找具有常 Q 曲率 $Q$ 和有限体积 $V$ 的共形度量 $g_u:=e^{2u}|dx|^2$。推广了 Chang-Chen 与 Wei-Ye 的先前工作，我们证明了在一定限制条件下，$V$ 的值与 $u(x)$ 当 $|x|\to \infty$ 时的渐近行为可以被同时预定。当 $Q=(2m-1)!$ 时，我们需要假设 $V<vol(S^{2m})$，但令人惊讶的是，当 $Q=-(2m-1)!$ 时，体积 $V$ 可以任意选择。