$\R^{2m}$ 上具有常 Q-曲率的共形度量

我们研究 $\R^{2m}$ 上具有常 Q-曲率 $Q$ 且体积有限的共形度量，特别是在 $Q\leq 0$ 的情况下。我们证明当 $Q<0$ 时，此类度量在 $\R^{2m}$ 中存在当且仅当 $m>1$。此外，我们研究了它们在无穷远处的渐近行为，这与我们在近期论文中处理的 $Q>0$ 情形相类似。当 Q=0 时，我们证明此类度量具有 $e^{2p}g_{\R^{2m}}$ 的形式，其中 $p$ 为满足 $2\leq \deg p\leq 2m-2$ 且 $\sup_{\R^{2m}}p<+\infty$ 的多项式。在四维情形中，此类度量恰好是满足 $\lim_{|x|\to+\infty}p(x)=-\infty$ 的 2 次多项式 $p$。