全Q曲率、体积熵与多项式增长多重调和函数

在本文中，我们研究一个共形平坦且完备的流形 $(M,g)=(\mathbb{R}^n,e^{2u}|dx|^2)$，其具有有限全Q曲率。我们引入一种新的体积熵，它融合了背景欧氏度量，并证明度量 $g$ 是正规的当且仅当体积熵有限。此外，我们利用积分Q曲率建立了体积熵的一个恒等式。另外，在正规度量假设下，我们得到了关于无穷远处的几何距离相对于欧氏距离之行为的一个结果。借助该结果，我们证明此类流形上的每个多项式增长多重调和函数都是有限维的。同时，我们通过限制Q曲率的符号证明了若干刚性结果。具体而言，我们确立在此类流形上，Cohn-Vossen不等式取等号当且仅当每个多项式增长多重调和函数均为常数。