具有非负 Ricci 曲率的流形上多项式增长的调和函数

设 $(M,g)$ 是维数为 $n$、具有非负 Ricci 曲率、极大体积增长且在无穷远处唯一切锥的黎曼流形。此时，无穷远处的切锥 $C(X)$ 是截面 $X$ 上的欧氏锥。记 $\alpha=\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{\mathrm{Vol}(B_{r}(p))}{r^{n}}$ 为渐近体积比。令 $h_{k}=h_{k}(M)$ 为增长阶至多为 $k$ 的多项式增长调和函数空间的维数。本文中，我们证明了 $h_{k}$ 关于 $X$ 的特征值计数函数的上界。作为推论，我们得到 $\lim_{k\rightarrow\infty}k^{1-n}h_{k}=\frac{2\alpha}{(n-1)!\omega_{n}}$。这些结果是尖锐的，因为它们恢复了 $h_{k}(\mathbb{R}^{n})$ 相应的著名性质。特别地，这些结果在具有非负截面曲率和极大体积增长的流形上成立。