$\mathbb{R}^{2n}$ 中具有预定 $Q$-曲率的正规共形度量

我们考虑 $Q$-曲率方程 \begin{equation}\label{0.1} (-\Delta)^n u = K(x)e^{2nu}\quad\text{在} ~\mathbb{R}^{2n} \ (n \geq 2) \text{ 中} \end{equation} 其中 $K$ 是给定的非常数连续函数。在对 $K$ 施加温和的增长控制下，对于满足 $\mathbb{R}^{2n}$ 中 $Q_{g_u} = K$ 的任意正规共形度量 $g_u = e^{2u}|dx|^2$，或等价地，对于在无穷远处具有对数增长的方程解，我们得到了关于总曲率 $\Lambda_u$ 的必要条件。反之，当 $K$ 为非正且满足多项式增长控制时，我们证明了具有拟最优总曲率范围及无穷远处精确渐近行为的正规共形度量的存在性。进一步地，若 $K$ 是径向对称的，我们在不对 $K$ 施加任何增长假设的情况下建立了同样的存在性结果。