关于 $Q^{(2k)}_g$-曲率几何

本文旨在研究 $Q$-曲率的几何性质。为简化起见，我们从一个简单模型开始：在 $\mathbb{R}^n$ 上的完备保 conformal 度量 $g=e^{2u}|dx|^2$。假设度量 $g$具有非负 $nth$ 阶 $Q$-曲率和非负标量曲率，我们证明 Ricci 曲率非负。若进一步假设在端部的等面积比 positive，我们证明第 $k$ 个 elementary 对称函数 $\sigma_k(g)$ 相对于半径为 $r$ 的测地球的增长率最多为 $r$ 的多项式阶数 $n-2k$，其中 $1 \leq k \leq \frac{n-2}{2}$。类似地，我们能够证明 $2k$ 阶 $Q$-曲率同样具有相同的增长控制。最后，我们证明当 $k=1$ 或 $2$ 时，$Q^{(2k)}_g$ 的 gap 定理成立。