$\mathbb{R}^n$ 上具有任意总 $Q$-曲率的共形欧氏度量

我们研究问题 $$(-\Delta)^\frac n2u=Qe^{nu}\quad\text{in }\mathbb{R}^{n},\quad \kappa:=\int_{\mathbb{R}^{n}}Qe^{nu}dx<\infty,$$ 的解的存在性，其中 $Q\geq 0$， $\kappa\in (0,\infty)$ 且 $n\geq 3$。利用 ODE 技巧，Martinazzi 对 $n=6$ 以及 Huang-Ye 对 $n=4m+2$ 证明了上述在 $Q\equiv const>0$ 且对任意 $\kappa\in (0,\infty)$ 时解的存在性。我们将这些结果推广到每个维度 $n\geq 5$，从而完全解决了 Martinazzi 所开启的问题。我们的方法也推广到 $Q$ 非常数的情形，并且在 $Q$ 的一些衰减假设下我们也能处理 $n=3$ 和 $4$ 的情况。