关于 $\mathbb{R}^2$ 中具规定非正曲率的 Gauss 曲率方程

本文旨在研究 $$\Delta u +K(x) e^{2u}=0 \quad{\rm in}\;\; \mathbb{R}^2$$ 且 $K\le 0$ 的解。我们引入如下量：$$\alpha_p(K)=\sup\left\{\alpha \in \mathbb{R}:\, \int_{\mathbb{R}^2} |K(x)|^p(1+|x|)^{2\alpha p+2(p-1)} dx<+\infty\right\}, \quad \forall\; p \ge 1.$$ 在假设 $({\mathbb H}_1)$：$\alpha_p(K)> -\infty$ 对某个 $p>1$ 成立且 $\alpha_1(K) > 0$ 下，我们证明对任意 $0 < \alpha < \alpha_1(K)$，存在唯一解 $u_\alpha$，其在无穷远处有 $u_\alpha(x) = \alpha \ln |x|+ c_\alpha+o\big(|x|^{-\frac{2\beta}{1+2\beta}} \big)$ 且 $\beta\in (0,\,\alpha_1(K)-\alpha)$。进而，我们给出一个例子 $K_0 \leq 0$ 使得对任意 $p>1$ 有 $\alpha_p(K_0) = -\infty$ 而 $\alpha_1(K_0) > 0$，并据此研究解的渐近行为。特别地，我们证明存在解 $u_*$ 使得在无穷远处对某个 $\alpha_* > 0$ 有 $u_* -\alpha_*\ln|x| = O(1)$，但其并不在无穷远处收敛于常数。该例子展示了具有对数增长及无穷远处非一致行为的解的一种新现象。