双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中给定高斯曲率问题的流方法

本文研究如下给定高斯曲率问题 $$K=\frac{\tilde{f}(\theta)}{\phi(\rho)^{\alpha-2}\sqrt{\phi(\rho)^2+|\bar{\nabla}\rho|^2}},$$ 其为双曲空间中 Alexandrov 问题($\alpha=n+1$)的推广，其中 $\tilde{f}$ 是 $\mathbb{S}^{n}$ 上的光滑正函数，$\rho$ 为超曲面的径向函数，$\phi(\rho)=\sinh\rho$，$K$ 为高斯曲率。通过流方法，我们在 $\alpha\geq n+1$ 时得到上述方程解的存在性与唯一性。我们的论证为 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中 Alexandrov 问题提供了光滑范畴下的抛物型证明。在 $\tilde{f}$ 的偶性假设下，我们还考虑了 $2<\alpha\leq n+1$ 的情形，并证明了上述方程解的存在性。