双曲空间中给定曲率的凸超曲面

对于 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中光滑、闭且一致 $h$-凸的超曲面 $M$，其球化高斯映射 $G: M \rightarrow \mathbb{S}^n$ 是一个微分同胚。我们考虑如下问题：寻找 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中光滑、闭且一致 $h$-凸的超曲面 $M\subset \mathbb{H}^{n+1}$，使其第 $k$ 阶平移平均曲率 $\widetilde{H}_{k}$（$1\leq k\leq n$）被规定为定义在 $\mathbb{S}^n$ 上的正函数 $\tilde{f}(x)$，即 \begin{eqnarray*} \widetilde{H}_{k}(G^{-1}(x))=\tilde{f}(x). \end{eqnarray*} 我们可证明，当给定函数 $\tilde{f}$ 为偶函数时该问题解的存在性。类似问题在二十年前由 Guan-Guan 针对欧氏空间中的凸超曲面考虑过。