高斯像集成的 Hessian 曲率光滑面

本文研究高斯像集成的 Hessian 曲率光滑面。给定 $\mathbb{R}^n$ 中的光滑严格凸有界域 $\Omega$ 以及单位半球中的 $\tilde{\Omega}$，我们证明存在定义在 $\Omega$ 内的严格凸图形光滑面，其 $k$-Hessian 曲率可被 prescribed 且其高斯像为 $\tilde{\Omega}$。我们的证明依赖于一种新颖的 $C^2$ 边界估计，该估计利用了光滑面的正交不变性。具体而言，我们采用由 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中微小旋转生成的特殊向量场来建立边界 $C^2$ 估计。这种新方法使我们能够处理在边界附近对二阶导数所引起的额外负项。