具有无穷远处给定边界数据的完备类空常 $\sigma_k$ 曲率超曲面

本文研究具有给定类光方向集 $\mathcal{F}\subset\mathbb{S}^{n-1}$ 及 $\mathcal{F}$ 上扰动 $q$ 的凸的、完备的、类空的常 $\sigma_k$ 曲率超曲面的存在性与唯一性。我们证明：给定双曲空间无穷远理想边界中的闭集 $\mathcal{F}$ 以及满足某些温和条件的扰动 $q$，存在一个完备类空常 $\sigma_k$ 曲率超曲面 $\mathcal{M}_u$，其具有给定的类光方向集 $\mathcal{F}$，并满足当 $\frac{x}{|x|}\in\mathcal{F}$ 时，随着 $|x|\rightarrow\infty$，有 $u(x)-|x|\rightarrow q\left(\frac{x}{|x|}\right)$。即便对于常高斯曲率的情形，该结果也是新的。我们还证明：当高斯映射像为半盘 $\bar{B}_1^+$ 且扰动 $q\equiv 0$ 时，若 CMC 超曲面 $\mathcal{M}_u$ 满足 $|u(x)-V_{\bar{\mathcal{B}}_+}(x)|$ 有界，则 $u(x)$ 是唯一的。