欧氏空间与双曲空间中由支撑函数与曲率函数驱动的扩张曲率流的一类

本文首先考虑欧氏空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中闭的、光滑的、星形的超曲面的一类扩张流，其速度为 $u^\alpha f^{-\beta}$，其中 $u$ 为超曲面的支撑函数，$f$ 为主曲率在凸锥上的光滑、对称、一次齐次的正函数。对于 $\alpha \le 0<\beta\le 1-\alpha$，我们证明该流对所有时间存在唯一光滑解，并且在归一化后光滑收敛到以原点为球心的球面。特别地，Gerhardt \cite{GC3} 与 Urbas \cite{UJ2} 的结果可通过在我们的第一个结果中取 $\alpha=0$ 与 $\beta=1$ 而得到恢复。若初始超曲面是凸的，则这是我们先前的工作 \cite{DL}。若 $\alpha \le 0<\beta< 1-\alpha$ 且外围空间为双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$，我们证明流 $\frac{\partial X}{\partial t}=(u^\alpha f^{-\beta}-\eta u)\nu$ 具有长时间存在性并光滑收敛到坐标切片。$\mathbb{H}^{n+1}$ 中的流（在同构意义下）等价于 $\mathbb{R}^{n+1}$ 情形中原流的重新参数化。最后，我们在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的流上发现了一族单调量。作为应用，我们给出了涉及 $k$-凸星形超曲面的第 $k$ 个初等对称函数的加权积分的一族不等式的新证明，这是 \cite{GL2} 中混合体积积分不等式的推广。