一类逆曲率流与 $L^p$ 对偶 Christoffel-Minkowski 问题

本文中，我们考虑欧氏空间 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中闭的光滑星形体超曲面的一大类扩张流，其速度为 $\psi u^\alpha\rho^\delta f^{-\beta}$，其中 $\psi$ 是单位球面上的光滑正函数，$u$ 为超曲面的支撑函数，$\rho$ 为径向函数，$f$ 为主曲率在凸锥上的光滑、对称、一次齐次正函数。当 $\psi=1$ 时，我们证明若 $\alpha+\delta+\beta\le1, \beta>0$ 且 $\alpha\le0$，流整体存在并收敛到无穷；而在 $\alpha+\delta+\beta>1,\alpha,\delta\le0$ 的情形下，流在有限时间内爆破，且我们假设初始超曲面为严格凸。两种情形下适当重标度的流都收敛到以原点为心的球面。特别地，Gerhardt \cite{GC,GC3} 与 Urbas \cite{UJ2} 的结果可通过取 $\alpha=\delta=0$ 得到。我们之前的工作 \cite{DL,DL2} 可通过取 $\delta=0$ 得到。由这些流的收敛性，我们可给出 $L^p$-Minkowski 问题与具有常数给定数据的 $L^p$-Christoffel-Minkowski 问题解的唯一性定理的新证明。类似地，我们提出 $L^p$ 对偶 Christoffel-Minkowski 问题，并证明具有常数给定数据的 $L^p$ 对偶 Minkowski 问题与 $L^p$ 对偶 Christoffel-Minkowski 问题解的唯一性定理。最后，我们关注一类各向异性流（即对于一般函数 $\psi$）的长时间存在性与收敛性。最终结果不仅通过此类各向异性流给出了许多先前已知的 $L^p$ 对偶 Minkowski 问题、$L^p$-Christoffel-Minkowski 问题等解的新证明，也给出了在某些条件下的 $L^p$ 对偶 Christoffel-Minkowski 问题的解。