一种各向异性收缩流与 L_p Minkowski 问题

我们考虑 (n+1) 维欧几里得空间中光滑、闭、一致凸超曲面的一种收缩流，其速度为 fu^{alpha}{sigma}_n^{beta}，其中 u 为超曲面的支撑函数，alpha、beta 为两个常数且 beta>0，sigma_n 为超曲面主曲率半径的第 n 个对称多项式。我们证明当常数 alpha、beta 属于合适范围，且初始超曲面为原点对称、f 为 S^n 上的光滑正偶函数时，该流对所有时间存在唯一光滑且一致凸的解，并在归一化后光滑收敛到一个孤子，该孤子为一椭圆方程的解。对于 alpha>= 1+n*beta、beta>0 的情形，我们证明该流在归一化后光滑收敛到椭圆方程的一个唯一光滑解，而对初始超曲面及光滑正函数 f 无任何限制。当 beta=1 时，我们的论证为 p 属于 (-n-1,+infty) 的 L_p Minkowski 问题方程解的存在性提供了统一证明。