由高斯曲率驱动的流向 Aleksandrov 与对偶 Minkowski 问题

本文研究欧氏空间 $\mathbb R^{n+1}$ 中闭凸超曲面的一类收缩流，其速度为 $f r^{\alpha} K$，其中 $K$ 为高斯曲率，$r$ 为超曲面到原点的距离，$f$ 为正的光滑函数。若 $\alpha \ge n+1$，我们证明该流整体存在，并在归一化后光滑收敛到一个孤子，当 $f \equiv 1$ 时该孤子是以原点为心的球面。我们的论证为经典 Aleksandrov 问题在光滑范畴内提供了抛物型证明，并解决了 Huang、Lutwak、Yang 和 Zhang（Acta Math. 216 (2016): 325-388）引入的对偶 q-Minkowski 问题在 $q<0$ 的情形。若 $\alpha < n+1$，对应于 $q>0$ 的情形，对偶函数 $f$ 和原点对称初值我们也建立了相同结果，但对非对称 $f$，上述光滑收敛给出反例。