双曲空间与球中曲面的收缩

本文考虑 $3$ 维双曲空间与 $3$ 维球中光滑闭曲面的收缩曲率流。在双曲情形下，我们证明若初始曲面 $M_0$ 具有正标量曲率，则沿平均曲率 $H$ 的正幂 $\alpha$ 流，演化曲面 $M_t$ 在 $t>0$ 时具有正标量曲率。在假定 $\alpha\in [1,4]$ 下，我们进一步证明 $M_t$ 在有限时间内收缩为一点并在逼近终时刻时变为球面。我们还证明了对于标量曲率幂流与 Gauss 曲率幂流，在幂 $\alpha\in [1/2,1]$ 时同样结论成立。在球情形下，我们证明平均曲率正幂 $\alpha$ 流在 $\alpha\in [1,5]$ 时将 $\mathbb{S}^3$ 中的严格凸曲面在有限时间内收缩为圆点。对于 Gauss 曲率幂流，在幂 $\alpha\in [1/2,1]$ 时同样结论成立。