双曲空间中的保体积流与 Alexandrov-Fenchel 型不等式

在本文中，我们研究双曲空间中的超曲面流，并应用它们证明几何不等式。在论文的第一部分，我们考虑由一族曲率函数给出的保体积流，包括 $k$ 阶平均曲率的正幂（$k=1,\cdots,n$）以及 $p$ 阶幂和 $S_p$ 的正幂（$p>0$）。我们证明若初始超曲面 $M_0$ 是光滑、闭的且具有正截面曲率，则流的解 $M_t$ 在任意时刻 $t>0$ 具有正截面曲率，对所有时间存在，并在光滑拓扑下指数收敛到测地球面。该收敛结果可用于证明某些先前已知对水平凸超曲面成立的 Alexandrov-Fenchel 拟容量积分不等式，在正截面曲率的较弱条件下也成立。在本文第二部分，我们研究双曲空间中严格水平凸超曲面的曲率流，其速度由平移主曲率 $\lambda_i=\kappa_i-1$ 的光滑、对称、递增且一次齐次函数 $f$ 给出，再加上一个全局项以对包围区域的拟容量积分施加约束，其中假设 $f$ 在二阶导数上满足某条件。我们证明若初始超曲面光滑、闭且严格水平凸，则流的解对所有时间存在并在光滑拓扑下指数收敛到测地球面。作为收敛结果的应用，我们证明了双曲空间中光滑闭 Weingarten 超曲面的一个新刚性定理，以及双曲空间中光滑水平凸超曲面的一类新的 Alexandrov-Fenchel 型不等式。