双曲空间中的局部约束曲率流与几何不等式

在本文中，我们首先研究双曲空间中超曲面的局部约束曲率流，该流由 Brendle、Guan 和 Li [7] 引入。此流保持第 $m$ 个拟体积积分并减小第 $(m+1)$ 个拟体积积分，因此流的收敛性给出了双曲空间中尖锐的 Alexandrov-Fenchel 型不等式。一些特例已在 [7] 中研究。在本文第一部分，我们证明超曲面的 h-凸性沿流保持，进而 h-凸超曲面的光滑收敛性随之成立。我们随后应用该结果建立一些新的尖锐几何不等式，将光滑 h-凸超曲面的第 $k$ 个 Gauss-Bonnet 曲率积分与其第 $m$ 个拟体积积分进行比较（对 $0\leq m\leq 2k+1\leq n$），并将第 $k$ 个平均曲率的加权积分与其第 $m$ 个拟体积积分进行比较（对 $0\leq m\leq k\leq n$）。特别地，我们对 Ge、Wang 和 Wu 于 2015 年提出的一个猜想给出了肯定回答。在本文第二部分，我们利用平移主曲率引入一种新的局部约束曲率流。这在 h-凸性背景下是自然的。我们证明了 h-凸超曲面的流光滑收敛到测地球面，并给出了 Andrews、Chen 及本文第三作者于 2018 年证明的几何不等式的新证明。我们还证明了一族涉及 h-凸超曲面第 $k$ 个平移平均曲率加权积分的新尖锐不等式，作为应用其蕴含了 Brendle、Hung 和 Wang 的 [8] 不等式的高阶类比。