一类完全非线性收缩曲率流的渐近收敛性

本文研究欧氏空间 $\mathbb R^{n+1}$ 中闭的一致凸超曲面的一类完全非线性收缩曲率流，其法向速度 $\Phi$ 由 $r^\alpha F^\beta$ 或 $u^\alpha F^\beta$ 给出，其中 $F$ 是主曲率的一个单调、对称、反凹、一次齐次的函數，$r$ 为超曲面到原点的距离，$u$ 为超曲面的支撑函数。若当 $\Phi=r^\alpha F^\beta$ 时 $\alpha\geq \beta+1$，或当 $\Phi=u^\alpha F^\beta$ 时 $\alpha> \beta+1$，我们证明该流整体存在并收敛到原点。经过适当重标度后，我们证明归一化流在 $C^\infty$ 拓扑下指数收敛到以原点为球心的球面。此外，对于特殊的反凹曲率函数 $F=K^{\frac{s}{n}}F_1^{1-s}(s\in(0, 1])$（其中 $K$ 为高斯曲率，$F_1$ 为反凹函数），我们得到当 $\alpha=\beta+1$ 时速度为 $\Phi=u^\alpha F^\beta$ 的流的渐近收敛性。若 $\alpha<\beta+1$，我们给出了当速度等于 $r^\alpha F^\beta$ 时上述收敛性的一个反例。