由主曲率半径与支撑函数变形超曲面

我们研究 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中光滑、闭、严格凸超曲面沿其法向量场方向膨胀的运动，其速度依赖于主曲率半径的第 $k$ 个初等对称多项式 $\sigma_k$ 及支撑函数 $h$。本文所考虑的流若存在齐次自相似解，则为著名的 $L_p$-Christoffel-Minkowski 问题 $\varphi h^{1-p}\sigma_k=c$ 的解。这里 $\varphi$ 是定义在单位球面上的预先给定的正光滑函数，$c$ 为正常数。对于 $1\leq k\leq n-1, p\geq k+1$，在假设 $\varphi^{\frac{1}{p+k-1}}$ 的球面 Hessian 正定的条件下，我们证明了规范化流 $C^{\infty}$ 收敛于齐次自相似解。我们论证的一个亮点是不需要 Guan-Ma 的常数秩定理/形变引理，从而对 Guan-Xia 提出的问题给出了部分回答。此外，对于 $k=n, p\geq n+1$，我们证明了规范化流 $C^{\infty}$ 收敛于齐次自相似解，且不对 $\varphi$ 施加任何进一步条件。在论文的最后一节中，对于 $1\leq k<n$，我们给出了一个例子，其中 $\varphi^{\frac{1}{p+k-1}}$ 的球面 Hessian 在某点处负定，且流的解失去光滑性。