共形 $Q$-曲率方程的 Liouville 定理

本文研究了以下共形 $Q$-曲率方程的正解的非存在性：\n\begin{equation*}\n (-\Delta)^\sigma u = K(x) u^{\frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}} \quad \text{in } \mathbb{R}^n, \end{equation*}\n其中 $\sigma \in (0, n/2)$ 为实数。当 $\sigma=1$ 时，该方程化为来源于预指定标量曲率问题的著名标量曲率方程。对于一般的 $\sigma \in (0, n/2)$，它出现在预指定 $Q$-曲率的研究中。我们在 $K(x)$ 各种假设下建立了 Liouville 定理，通过发展一种适用于所有 $\sigma \in (0, n/2)$ 的统一方法。我们的方法成功地解决了分数阶情形下缺乏 ODE 工具的挑战，以及针对一般分数 Yamabe 方程缺乏 Delaunay 类型奇异解分类的难题。