负情形下在具有锥奇点的闭黎曼曲面上预定高斯曲率

考虑在具有锥奇点的黎曼曲面上预定高斯曲率的问题。设 $(\Sigma,\beta)$ 是一个带有除子 $\beta$ 的闭黎曼曲面，且 $K_\lambda=K+\lambda$，其中 $K:\Sigma\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个 Hölder 连续函数，满足 $\max_\Sigma K= 0$，$K\not\equiv 0$，且 $\lambda\in\mathbb{R}$。如果欧拉示性数 $\chi(\Sigma,\beta)$ 为负，则通过变分法证明：存在一个常数 $\lambda^\ast>0$，使得对于任意 $\lambda\leq 0$，存在唯一一个以 $K_\lambda$ 为高斯曲率的共形度量；对于任意 $0<\lambda<\lambda^\ast$，至少存在两个以 $K_\lambda$ 为高斯曲率的共形度量；对于 $\lambda=\lambda^\ast$，至少存在一个以 $K_{\lambda^\ast}$ 为高斯曲率的共形度量；对于任意 $\lambda>\lambda^\ast$，不存在以 $K_{\lambda}$ 为高斯曲率的共形度量。这一结果是 Ding 和 Liu \cite{Ding-Liu} 结果的类比，部分类似于 Borer、Galimberti 和 Struwe \cite{B-G-Stru} 的结果，并推广了 Troyanov \cite{Troyanov} 在负情形下的工作。