双曲率设定问题的平均场方法

本文建立了一个新的平均场型公式来研究带边界紧曲面上给定高斯曲率和测地曲率的问题，该问题等价于如下具有非线性诺伊曼条件的刘维尔型偏微分方程：$$\left\{\begin{array}{ll} -\Delta u+2K_g=2Ke^u&\text{in }\Sigma\ \partial_\nu u+2h_g=2he^\frac u2&\text{on }\partial\Sigma. \end{array}\right.$$ 我们通过变分技术，在正、零和负欧拉示性数的情形下给出了三个不同的存在性结果。