给定平均曲率的反问题

我们通过考虑给定平均曲率方程的反源问题，将最近关于极小曲面反问题的研究进行了推广。\begin{equation*} \nabla \cdot \left[ \frac{\nabla u}{(1 + |\nabla u|^2)^{1/2}} \right] = H(x). \end{equation*} 这项工作也代表了对半线性方程反源问题的首次处理。我们证明，在二维情形下，源函数 $H$ 由相应的 Dirichlet-to-Neumann 映射唯一确定。该问题的一个显著特征是，虽然方程在欧几里得区域上提出，但其线性化导出一个各向异性导电方程，其中系数矩阵对应于一个依赖于背景解的黎曼度量 $g$。主要的方法论贡献是从边界测量中推导出一组耦合的非线性代数与几何偏微分方程系统。类似的系统自然会出现在半线性方程的其他反问题中。我们使用共形映射的 Liouville 型唯一性结果来求解该系统，从而唯一地恢复源函数。