具有指定高斯曲率与测地曲率的圆盘共形度量

本文研究具有指定高斯曲率与测地曲率的圆盘共形度量的存在性。更具体地，给定非负光滑函数 $K: \overline{\mathbb{D}} \to \mathbb{R}$ 与 $h: \partial \mathbb{D} \to \mathbb{R}$，我们考虑寻找一个共形度量，分别将 $K$ 与 $h$ 实现为高斯曲率与测地曲率的问题。这是定义在圆盘上的经典 Nirenberg 问题的自然类比。正如我们将看到的，两种曲率在解的存在性中都起作用。事实上，我们能够在涉及 $K$ 与 $H$ 的条件下给出存在性结果，其中 $H$ 表示 $h$ 的调和延拓。证明基于在紧致情形下 Leray-Schauder 度的计算。