面向火山状曲率问题的无限多解

本文考虑以下预指定标量曲率问题：$$-\Delta u = K(x) u^{\frac{n+2}{n-2}}, \quad u>0\quad\text{in}\quad \mathbb{R}^n, \quad u \in D^{1,2}(\mathbb{R}^n),$$ 其中 $K(x)$ 为类火山状正函数，满足 $$K(x)= K(r_0)- c_0 | |x|- r_0|^m + O( | |x|- r_0|^{m+\theta}),\quad r_0- \delta <|x| <r_0+\delta$$ 其中 $K(r_0), c_0, \delta>0, \theta >2, \min \{\frac{n-2}{2}, 2\} < m< n-2$。我们首先证明存在无限多正解。我们方法的 consequences 表明，文献 \cite{WY} 中构造的无限多解在整个 $D^{1, 2}(\mathbb{R}^{n})$ 空间中是非退化的。据我们所知，这似乎是预指定标量曲率问题在势函数 $K(x)$ 为非径向函数时的第一个无限多解结果。我们的非退化结果也更为完整，改进了文献 \cite{GMPS} 的结果。