高阶预设曲率问题的双塔解

我们考虑 ${\mathbb{S}}^N$ 上的如下高阶预设曲率问题：\begin{equation*} D^m \tilde u=\widetilde{K}(y) \tilde u^{m^{*}-1} \quad \mbox{on} \ {\mathbb {S}}^N, \qquad \tilde u >0 \quad \mbox{in} \ {\mathbb {S}}^N. \end{equation*} 其中 $\widetilde{K}(y)>0$ 为径向函数，$m^{*}=\frac{2N}{N-2m}$，$D^m$ 为由 \begin{equation*} D^m=\prod_{i=1}^m\left(-\Delta_g+\frac{1}{4}(N-2i)(N+2i-2)\right), \end{equation*} 给出的 $2m$ 阶微分算子，其中 $g=g_{{\mathbb{S}}^N}$ 为黎曼度量。我们证明存在无穷多双塔型解，它们在 $O(3)$ 的某些非平凡子群下不变，且其能量可任意大。