黎曼流形上 Yamabe 型方程的全局分歧技术

我们考虑维数 $n\geq 3$ 的闭黎曼流形 $(M^n ,g)$，并研究方程 $-\Delta_g u + \lambda u = \lambda u^q$ 的正解，其中 $\lambda >0$，$q>1$。若 $M$ 支持一个恰当等参函数，其焦流形 $M_1$、$M_2$ 的维数为 $d_1 \geq d_2$，我们证明对任意 $q<\frac{ n-d_2+2 }{n - d_2 -2}$，方程 $-\Delta_g u + \lambda u = \lambda u^q$ 的正解个数在 $\lambda \rightarrow +\infty$ 时趋于 $\infty$。我们应用此结果证明临界和超临界方程正解的多重性结果。特别地，我们证明了黎曼流形上 Yamabe 方程的多重性结果。