利用 Lyapunov-Schmidt 约化求解 Yamabe 方程

给定任意闭黎曼流形 $(M,g)$，我们利用 Lyapunov-Schmidt 有限维约化方法以及经典的 Morse 和 Lusternick-Schnirelmann 理论，证明 $(M,g)$ 上亚临界 Yamabe 型方程正解的多重性结果。若 $(N,h)$ 是常正数量曲率的闭黎曼流形，则对充分小的 $\ve >0$，我们在黎曼积流形 $(M\times N , g + \ve^2 h )$ 上得到 Yamabe 方程的多重性结果。例如，若 $M$ 是亏格为 ${\bf g}$ 的闭黎曼曲面且 $(N,h) = (S^2 , g_0)$ 为_round 2-球面，我们证明对充分小的 $\ve >0$ 及 $M$ 上的一般度量 $g$，$(M\times S^2 , g + \ve^2 g_0 )$ 上的 Yamabe 方程至少有 $2 + 2 {\bf g}$ 个解。