非紧流形上 Yamabe 方程的稳定解

我们在完备的非紧黎曼流形上考虑 Yamabe 方程，并研究解的稳定性条件。若 $(M^m,g)$ 是一个具有恒定正数量曲率的闭流形，我们将其归一化为 $m(m-1)$，则考虑其与 $n$ 维欧几里得空间的黎曼乘积：$(M^m \times \mathbf{R}^n, g+ g_E)$，并研究仅依赖于欧几里得因子的 Yamabe 方程的解。我们证明存在一个常数 $\lambda (m,n)$，使得解是稳定的当且仅当 $\lambda_1 \geq \lambda (m,n)$，其中 $\lambda_1$ 是 $-\Delta_g$ 的第一个正特征值。我们对较小的 $m,n$ 值数值计算了 $\lambda (m,n)$，表明在这些情况下，当 $M=S^m$ 且具有恒定曲率度量时，欧几里得极小化子是稳定的。这意味着对于任何具有 Yamabe 度量的闭流形，同样的结论也成立。