关于 Yamabe 方程乘积流形上的 K 峰解

设$(M^n, g)$和$(X^m, h)$为闭流形，$m, n>2$，且$(X, h)$具有常正标量曲率。我们考虑参数为一的乘积族$(M\times X, g+\epsilon^2 h)$，$\epsilon>0$。我们证明，如果$g$的标量曲率 $s_g$为常数或满足某个维常数 $\beta=0$，则存在某个函数$\Phi:M\rightarrow \mathbb{R}$，其依赖于$s_g$、$g$的 Ricci 曲率范数以及$g$的曲率张量范数；当$\xi_0$为$\Phi$的稳定、孤立、临界点时，对于每个$K\in\mathbb{N}$，存在某个$\epsilon_0>0$，使得当每个$\epsilon \in (0,\epsilon_0)$时，亚临界 Yamabe 方程$-\epsilon^2\Delta_g u+(1+{\bf{c}}\epsilon^2 s_g)u=u^q$具有正的 $K-$峰解，其在$\xi_0$处浓缩。此处，${\bf{c}}=\frac{N-2}{4(N-1)}$，$q=\frac{N+2}{N-2}$且$N=n+m$。这为$(M\times X, g+\epsilon^2 h)$上的 Yamabe 方程提供了解，并涵盖了先前结果中处理$s_g$具有非平凡临界点且$\beta\neq0$情况的剩余案例。