对称流形上 Yamabe 方程的塔状现象

设 $(M,g)$ 为维数 $N\ge7$ 的紧致光滑连通黎曼流形（无边界）。假设 $M$ 关于一点 $\xi_0$ 对称，且该点处 Weyl 张量非零。我们考虑 Yamabe 问题的线性扰动 $$(P_\epsilon)\qquad-\mathcal L_g u+\epsilon u=u^{N+2\over N-2}\ \hbox{in}\ (M,g) .$$ 我们证明对任意 $k\in \mathbb N$，存在 $\epsilon_k>0$，使得对所有 $\epsilon\in (0, \epsilon_k)$，问题 $(P_\epsilon)$ 有一个对称解 $u_\epsilon$，当 $\epsilon\to 0$ 时，该解看起来像是中心在点 $\xi_0$ 处的 $k$ 个正气泡的叠加。特别地，$\xi_0$ 是一个{\em 塔状}爆破点。